Construction des primaires CIE-XYZ

Trouver trois primaires qui englobent totalement le spectrum locus n'est pas une difficulté en soi puisque n'importe quelle primaire "prise au hasard" ferait l'affaire. Mais l'opération devient plus compliquée et délicate avec les quatre contraintes que se sont imposées les chercheurs :

1 - Séparer clairement les informations de luminance et de chromaticité. La totalité de la luminance est portée par une primaire unique. Les deux autres primaires ne générant par conséquent aucune luminance.
2 - Tout en englobant totalement les couleurs visibles, le triangle doit rester optimum avec les 3 droites du triangle (x=0), (y=0) et (x+y=1) tangentes au spectrum locus.
3 - La droite qui relie X et Y dans le nouveau triangle est la même que celle qui relie R et G dans le CIE-RGB.
4 - La somme des primaires X,Y, Z doit donner le point blanc E d'égale énergie.

L'alychne

Schrödinger apporta une part importante dans la conception du modèle XYZ. Il démontre l'existence dans l'espace RGB d'un plan de luminance nulle. Par la suite, Judd propose de placer deux des primaires dans ce plan, ce qui signifie de la primaire restante portera la totalité de la luminance. Lorsqu'on place une couleur dans ce plan virtuel, il y a toujours au moins une des 3 composantes de luminosité qui est négative et la somme des trois composantes de luminosité est nulle.

Fig. 2 L'espace RGB (cube) n'a qu'un seul point de luminance nulle, c'est l'origine 0 des 3 primaires. Imaginez le cube en équilibre sur une surface avec pour seul point de contact, le point 0. Cette surface virtuelle, car hors du cube, correspond au plan de luminance nulle défini par Schrödinger.

Schrödinger localise en dessous de l'espace CIE-RGB un plan de luminance nulle en contact avec le cube RGB par le point d'origine des vecteurs R,G,B. Dans ce plan les valeurs unitaires r, g, b pondérées par le coefficient de luminosité s'annulent selon l'équation : car dans cette zone virtuelle certaines valeurs sont négatives.
Et dans le cas particulier de l'espace CIE-RGB dans lequel on connait la luminance des trois primaires, l'équation du plan est connue : 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 0

Les calculs sont bien plus faciles dans le diagramme rg que dans l'espace RGB. Pour trouver la correspondance du plan de luminance nulle dans le diagramme, il faut d'abord trouver l'intersection du plan de luminance nulle avec le plan r + g + b = 1 qui porte le triangle de Maxwell. Cette intersection est une droite que Schrodinger nomme Alychne (sans lumière). La projection de l'alychne sur le diagramme est une autre droite dont l'équation est :

Fig. 3. La projection de l'alychne passe par le point 0. Pour intégrer les dernières couleurs spectrales en dessous de 430 nm (voir dans la loupe), on va finalement utiliser une droite parallèle à l'alychne située à 1/100 d'unité en dessous. De ce fait, X et Z porteront moins de 1/10 000 de la luminance, soit un écart négligeable.

Toutes les couleurs positionnées sur l'alychne (ou qui répondent à l'équation ci-dessus) ont une luminance égale à zéro. Si on place sur cette ligne, les primaires X et Z, elle ne portent aucune luminance et par conséquent la troisième primaire Y porte 100 % de la luminance. En portant toute la luminance, la primaire Y devient la fonction de luminance V(λ). Les données de luminance sont désormais connues pour les trois primaires. Pour Y, on a 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 1

Un côté en commun

La droite qui relie les primaires R et G (la droite r + g = 1 dans le diagramme r g) est conservée. Il n'y a donc aucun calcul pour placer la droite qui relie X à Y. Ce choix est adopté par simplification pour ne pas tenir compte des apports infimes de bleu négatif pour égaliser le jaune comme cela avait déjà été fait dans la construction du CIE-RGB. En fait, on conserve la ligne droite qui joint la couleur jaune 570 nm à la couleur rouge 700 nm et l'équation de cette droite est précisément r + 0,99 g = 1.

Fig. 4. L'intersection des 2 droites donne la position de la primaire X (r, g = 1,275, -0,278).

Des primaires d'égale énergie

La troisième étape consiste à positionner les deux primaires Y et Z de telle manière qu'elles conservent l'équilibre chromatique nécessaire pour obtenir le point blanc E. Mathématiquement, cela correspond à maintenir égales les sommes de 3 composantes pour X, pour Y et pour Z. La somme des composantes pour X est connue puisque déjà déterminée précédement par ses coordonnées. Pour la composante Y, on sait déjà que 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 1 et pour la composante Z, on a 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 0. Il existe une infinité de positions répondant à ce critère. On va donc choirir un couple de positions pour Y et Z tel que l'axe Y soit tangent au spectrum locus. Pour cela, on ne doit pas avoir de valeur de X qui soit négative, mais trouver la somme minimum X = R + G + B qui soit égale à 0. En appliquant ce critère, la droite zy est tangente au spectrum locus au niveau de la couleur 504 nm. On obtient finalement la position des 2 dernières primaires Y = -1,738, 2,765 et Z = -0,743, 0,141.

Fig. 5. Les coordonnées des trois points x, y et z permettent de définir les composantes trichromatiques X, Y et Z et donc de définir les nouvelles fonctions colorimétriques entièrement positives.

Le résultat de cette construction en coordonnée est ensuite converti facilement en composantes trichromatiques qu'on présente sous la forme d'une matrice 3 x 3 ou plus simplement comme ci-dessous sous la forme de 3 équations. Cette matrice est la clé pour convertir une couleur depuis l'espace CIE-XYZ dans n'importe quel autre espace couleur.

X = 0,49000 R + 0,31000 G + 0,20000 B
Y = 0,17697 R + 0,81240 G + 0,01063 B
Z = 0,00000 R + 0,01000 G + 0,99000 B